了解二项式期权定价模型

确定股票价格

商定任何可交易资产的准确定价具有挑战性，这就是股票价格不断变化的原因。实际上，公司几乎每天都不会更改其估值，但是它们的股价和估值几乎每秒都会变化。在就任何可交易资产的正确定价达成共识方面的困难导致套利机会短暂。

但是，许多成功的投资归结为当今估值的一个简单问题-今天的当前价格对预期的未来收益有何影响？

二项式期权估值

在竞争激烈的市场中，为避免套利机会，具有相同收益结构的资产必须具有相同的价格。期权的估值一直是一项艰巨的任务，而价格变化会带来套利机会。 Black-Scholes仍然是用于定价选项的最受欢迎的模型之一，但有其局限性。

二项式期权定价模型是用于定价期权的另一种流行方法。

例子

假设当前市场价格为$ 100的特定股票有看涨期权。普通货币（ATM）期权的行使价为100美元，有效期为一年。有两名交易员Peter和Paula都同意股票价格在一年内将升至110美元或跌至90美元。

他们同意在给定的一年时间范围内的预期价格水平，但不同意涨跌的可能性。彼得认为股票价格达到110美元的可能性是60％，而宝拉则认为是40％。

基于此，谁愿意为看涨期权支付更多的价格？可能是彼得，因为他期望上升的可能性很高。

二项式期权计算

估值所依赖的两种资产是看涨期权和标的股票。参与者之间达成协议，基础股票价格可以在一年内从当前的100美元升至110美元或90美元，并且没有其他价格变动的可能。

在无套利的世界中，如果您必须创建由这两种资产（看涨期权和标的股票）组成的投资组合，那么无论标的价格走到哪里（110美元或90美元），投资组合的净收益始终保持不变。假设您购买“ d”股基础和空头看涨期权来创建此投资组合。

如果价格达到$ 110，您的股票将价值$ 110 * d，而您的短期看涨收益将损失$ 10。您的投资组合的净值为（110d-10）。

如果价格跌至$ 90，您的股票将价值$ 90 * d，期权将毫无价值地到期。您的投资组合的净值为（90d）。

</ s> </ s> </ s> $\begin{matrix} H （ d ） - 米 = 升（ d ） \\ 哪里： \\ H = 最高潜在价格 \\ d = 相关股份数目 \\ 米 = 短期通话收益损失的钱 \\ 升 = 最低潜在价格 \end{matrix} \ begin {aligned}&h（d）-m = l（d）\\&\ textbf {其中：} \&h = \ text {最高潜在标的价格} \&d = \ text {标的股数} \&m = \ text {空头支付收益损失的钱} \&l = \ text {最低潜在标的价格} \ \ end {aligned}$ h（d）−m = l（d）其中：h =最高潜在标的价格=标的股票数量m =卖空回购所损失的资金l =最低潜在标的价格

因此，如果您购买了一半的股份（假设可以少量购买），那么您将设法创建投资组合，以使其在一年的给定时间内在两种可能的状态下其价值保持不变。

</ s> </ s> </ s> $\begin{matrix} 1个 1个 0 d - 1个 0 = 90 d \\ d = \frac{1个}{2} \end{matrix} \ begin {aligned}&110d-10 = 90d \\&d = \ frac {1} {2} \ \ end {aligned}$ 110d−10 = 90dd = 21

该投资组合价值由（90d）或（110d-10）= 45表示，是下线的一年。要计算其现值，可以用无风险收益率（假定为5％）进行折现。

</ s> </ s> </ s> $\begin{matrix} 目前的价值 & = 90 d \times Ë^{（ - 5 ％ \times 1个年）} \\ = 45 \times 0 。 9523 \\ = 42 。 85 \end{matrix} \ begin {aligned} text {Present Value}&= 90d \ times e ^ {（-5 \％\ times 1 \ text {Year}）} \&= 45 \ times 0.9523 \\&= 42.85 \\ \结束{aligned}$ 现值= 90d×e（−5％×1年）= 45×0.9523 = 42.85

由于目前，投资组合由1/2股基础股票（市场价格为100美元）和一个看涨期权组成，因此该投资组合应等于现值。

</ s> </ s> </ s> $\begin{matrix} \frac{1个}{2} \times 1个 00 - 1个 \times 收回价 = $ 42 。 85 \\ 收回价 = $ 7 。 1个 4 ，即今天的看涨价 \end{matrix} \ begin {aligned}&\ frac {1} {2} times 100-1 \ times \ text {Call Price} = \ $ 42.85 \\&\ text {Call Price} = \ $ 7.14 \ text {，即调用价格的今天} \ \ end {aligned}$ 21×100-1×认购价= $ 42.85认购价= $ 7.14，即今天的认购价

由于这是基于这样的假设，即无论标的价格走哪条路，投资组合的价值都保持不变，因此上下波动的可能性不起作用。无论潜在的价格变动如何，投资组合均保持无风险。

在这两种情况下（假设向上移动至110美元，向下移动至90美元），您的投资组合对风险都是中性的，并获得无风险的收益率。

因此，尽管交易员彼得和宝拉愿意为该看涨期权支付相同的7.14美元，尽管他们对上涨概率的看法不同（分别为60％和40％）。他们个人认为的概率与期权估值无关。

相反，假设个人概率很重要，套利机会可能已经出现。在现实世界中，这种套利机会的价格差异很小，并在短期内消失。

但是，在所有这些计算中，被大肆宣传的波动率是一个影响期权定价的重要而敏感的因素吗？

问题定义的性质已经包含了波动性。假设价格水平处于两个（并且只有两个，因此称为“二项式”）状态（$ 110和$ 90），则在此假设中隐含波动率并自动包括波动率（在此示例中，波动率均为10％）。

布莱克·斯科尔斯

但是，这种方法正确且与常用的Black-Scholes定价相一致吗？选项计算器的结果（由OIC提供）与计算值非常匹配：

不幸的是，现实世界并不像“只有两个州”那样简单。股票在到期前可以达到几个价格水平。

是否可以将所有这些多个级别包括在仅限于两个级别的二项式定价模型中？是的，这很有可能，但是要了解它需要一些简单的数学。

简单数学

概括此问题和解决方案：

“ X”是股票的当前市场价格，“ X * u”和“ X * d”是几年后“ t”的上下移动的未来价格。因子“ u”将大于1，因为它指示向上移动，而因子“ d”将介于0和1之间。对于上面的示例，u = 1.1，d = 0.9。

到期时，上下移动的看涨期权收益为“ P _up ”和“ P _dn ”。

</ s> </ s> </ s> $\begin{matrix} VUM = s \times X \times ü - P_{上} \\ 哪里： \\ VUM = 上升时的投资组合价值 \end{matrix} \ begin {aligned}&\ text {VUM} = s \ times X \ times u-P_ \ text {up} \&\ textbf {where：} \&\ text {VUM} = \ text {投资组合的价值如果向上移动} \ \ end {aligned}$ VUM = s×X×u-Pup其中：VUM =上升时的投资组合价值

</ s> </ s> </ s> $\begin{matrix} VDM = s \times X \times d - P_{下} \\ 哪里： \\ VDM = 下跌时的投资组合价值 \end{matrix} \ begin {aligned}&\ text {VDM} = s \ times X \ times d-P_ \ text {down} \&\ textbf {where：} \&\ text {VDM} = \ text {投资组合的价值如果下移} \ \ end {aligned}$ VDM = s×X×d-Pdown其中：VDM =下跌时的投资组合价值

对于两种价格变动情况下的类似估值：

</ s> </ s> </ s> $s \times X \times ü - P_{上} = s \times X \times d - P_{下} s \ times X \ times u-P_ \ text {up} = s \ times X \ times d-P_ \ text {down}$ s×X×u-Pup = s×X×d-Pdown

</ s> </ s> </ s> $\begin{matrix} s & = \frac{P_{上} - P_{下}}{X \times （ ü - d ）} \\ = 要购买的股票数量 \\ 无风险的投资组合 \end{matrix} \ begin {aligned} s&= \ frac {P_ \ text {up}-P_ \ text {down}} {X \ times（u-d）} \&= \ text {要购买的股票数量} \&\ phantom {=} text {无风险的投资组合} \ \ end {aligned}$ s = X×（u-d）Pup-Pdown =要购买的股票数量=无风险投资组合

“ t”年结束时投资组合的未来价值将是：

</ s> </ s> </ s> $\begin{matrix} 万一上升 & = s \times X \times ü - P_{上} \\ = \frac{P_{上} - P_{下}}{ü - d} \times ü - P_{上} \end{matrix} \ begin {aligned} text {如果向上移动}&= s \ times X \ times u-P_ \ text {up} \&= \ frac {P_ \ text {up}-P_ \ text {down} } {u-d} times u-P_ \ text {up} \ \ end {aligned}$ 如果上移= s×X×u-Pup = u-dPup-Pdown×u-Pup

</ s> </ s> </ s> $\begin{matrix} 向下移动时 & = s \times X \times d - P_{下} \\ = \frac{P_{上} - P_{下}}{ü - d} \times d - P_{下} \end{matrix} \ begin {aligned} text {如果向下移动}&= s \ times X \ times d-P_ \ text {down} \&= \ frac {P_ \ text {up}-P_ \ text {down} } {u-d} times d-P_ \ text {down} \ \ end {aligned}$ 下移= s×X×d-Pdown = u-dPup-Pdown×d-Pdown的情况

可以通过用无风险收益率折现来获得现值：

</ s> </ s> </ s> $\begin{matrix} 光伏 = Ë （ - [R Ť ） \times \\ 哪里： \\ 光伏 = 现值 \\ [R = 回报率 \\ Ť = 时间，以年为单位 \end{matrix} \ begin {aligned}&\ text {PV} = e（-rt）\ times \ left \\&\ textbf {where：} \&\ text {PV} = \ text {Present-Day Value} \&r = \ text {回报率} \&t = \ text {时间，以年为单位} \ \ end {aligned}$ PV = e（-rt）×其中：PV =当前值Valuer =返回率=时间，以年为单位

这应该与X价的“ s”股的投资组合匹配，并且卖空价值“ c”（（s * X-c）的当前持有量应等于该计算。）求解“ c”最终得到如：

注意：如果看涨期权被做空，则应将其添加到投资组合中，而不是减去。

</ s> </ s> </ s> $C = \frac{Ë （ - [R Ť ）}{ü - d} \times c = \ frac {e（-rt）} {u-d} times$ c = u-de（-rt）×

写方程的另一种方法是重新排列：

以“ q”为：

</ s> </ s> </ s> $q = \frac{Ë （ - [R Ť ） - d}{ü - d} q = \ frac {e（-rt）-d} {u-d}$ q = u-de（-rt）-d

然后，等式变为：

</ s> </ s> </ s> $C = Ë （ - [R Ť ） \times （ q \times P_{上} + （ 1个 - q ） \times P_{下} ） c = e（-rt）\ times（q \ times P_ \ text {up} +（1- q）\ times P_ \ text {down}）$ c = e（-rt）×（q×Pup +（1-q）×Pdown））

用“ q”重新排列方程式提供了新的视角。

现在，您可以将“ q”解释为底层证券上移的概率（因为“ q”与P _up相关联，而“ 1-q”与P _dn相关联）。总体而言，该方程式表示当前的期权价格，即到期时收益的折现值。

这个“ Q”是不同的

此概率“ q”与底层证券上移或下移的概率有何不同？

</ s> </ s> </ s> $\begin{matrix} VSP = q \times X \times ü + （ 1个 - q ） \times X \times d \\ 哪里： \\ VSP = 当时股价的价值 Ť \end{matrix} \ begin {aligned}&\ text {VSP} = q \ times X \ times u +（1-q）\ times X \ times d \\&\ textbf {where：} \&\ text {VSP} = \文字{当时的股票价格} t \\ \ end {aligned}$ VSP = q×X×u +（1-q）×X×d其中：VSP =时间t的股票价格

替换“ q”的值并重新排列，在“ t”时刻的股票价格为：

</ s> </ s> </ s> $\begin{matrix} 股票价格 = Ë （ [R Ť ） \times X \end{matrix} \ begin {aligned}&\ text {股票价格} = e（rt）\ times X \\ \ end {aligned}$ 股票价格= e（rt）×X

在这种假设为两种状态的世界中，股价就像无风险资产一样，以无风险收益率简单地上涨，因此与任何风险无关。投资者对这种模式的风险漠不关心，因此构成了风险中性模型。

概率“ q”和“（1-q）”被称为风险中立概率，评估方法被称为风险中立评估模型。

该示例场景有一个重要要求–要求将来的支付结构具有精确度（级别$ 110和$ 90）。在现实生活中，这种基于分步价格水平的清晰性是不可能的。价格会随机波动，并可能在多个水平上结算。

为了进一步扩展该示例，假设两步价格水平是可能的。我们知道第二步的最终收益，我们需要今天（在初始步骤）对期权进行估价：

向后推算，可以使用第二步的最终收益（t = 2）进行第一步的中间估值（t = 1），然后使用这些计算出的第一步估值（t = 1），即今天的估值（t =通过这些计算可以达到0）。

为了使期权定价排在第二，使用了第四和第五的收益。为了获得第三名的价格，使用了第五名和第六名的收益。最后，在第二和第三点计算出的收益用于获得第一名的定价。

请注意，此示例假设两个步骤的向上（和向下）移动的因素相同– u和d以复合方式应用。

一个有效的例子

假设行使价为110美元的看跌期权目前的交易价格为100美元，并在一年后到期。年度无风险率为5％。价格预计每六个月上涨20％，下跌15％。

在这里，u = 1.2且d = 0.85，x = 100，t = 0.5

使用上面的推导公式

</ s> </ s> </ s> $q = \frac{Ë （ - [R Ť ） - d}{ü - d} q = \ frac {e（-rt）-d} {u-d}$ q = u-de（-rt）-d

我们得到q = 0.35802832

点2的看跌期权的价值

</ s> </ s> </ s> $\begin{matrix} p_{2} = Ë （ - [R Ť ） \times （ p \times P_{向上} + （ 1个 - q ） P_{Updn} ） \\ 哪里： \\ p = 看跌期权的价格 \end{matrix} \ begin {aligned}&p_2 = e（-rt）\ times（p \ times P_ \ text {upup} +（1-q）P_ \ text {updn}）\\&\ textbf {其中：} \&p = \ text {看跌期权的价格} \ \ end {aligned}$ p2 = e（−rt）×（p×Pupup +（1-q）Pupdn）其中：p =看跌期权的价格

在P _upup条件下，底层证券= 100 * 1.2 * 1.2 = $ 144导致P _upup = 0

在P _updn条件下，底层证券= 100 * 1.2 * 0.85 = $ 102导致P _updn = $ 8

在P _dndn条件下，底层证券= 100 * 0.85 * 0.85 = $ 72.25导致P _dndn = $ 37.75

p ₂ = 0.975309912 *（0.35802832 * 0 +（1-0.35802832）* 8）= 5.008970741

类似地，p ₃ = 0.975309912 *（0.35802832 * 8 +（1-0.35802832）* 37.75）= 26.42958924

</ s> </ s> </ s> $p_{1个} = Ë （ - [R Ť ） \times （ q \times p_{2} + （ 1个 - q ） p_{3} ） p_1 = e（-rt）\ times（q \ times p_2 +（1-q）p_3）$ p1 = e（−rt）×（q×p2 +（1-q）p3）

因此看跌期权的价值，p ₁ = 0.975309912 *（0.35802832 * 5.008970741 +（1-0.35802832）* 26.42958924）= 18.29美元。

同样，二项式模型允许您打破整个期权期限，以进一步完善多个步骤和级别。使用计算机程序或电子表格，您可以一次后退一步以获得所需选项的现值。

另一个例子

假设一个欧式看跌期权的有效期为九个月，行使价为12美元，当前基础价格为10美元。假设所有期间的无风险利率均为5％。假设每三个月，基础价格可以上下移动20％，从而得到u = 1.2，d = 0.8，t = 0.25和三步二叉树。

红色表示基础价格，蓝色表示认沽期权的收益。

风险中性概率“ q”计算为0.531446。

使用上述“ q”值和t =九个月时的收益值，t =六个月时的相应值计算如下：

此外，使用在t = 6时的这些计算值，在t = 3时和t = 0时的值分别为：

这样一来，认沽期权的当前价值为2.18美元，与您使用Black-Scholes模型进行的计算（2.30美元）非常接近。

底线

尽管使用计算机程序可以使这些密集的计算变得容易，但是对期货价格的预测仍然是期权定价的二项式模型的主要限制。时间间隔越精细，就越难以较高的精度预测每个周期结束时的收益。

但是，可以灵活地合并不同时期预期的变化，这使其适合定价美国期权，包括早期运动估值。

使用二项式模型计算的值与通过其他常用模型（例如Black-Scholes）计算出的值紧密匹配，这表明用于期权定价的二项式模型的实用性和准确性。二项式定价模型可以根据交易者的偏好进行开发，并且可以替代Black-Scholes。

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