估计风险的最常用方法之一是使用蒙特卡洛模拟（MCS）。 例如，要计算投资组合的风险价值（VaR），我们可以运行蒙特卡洛模拟，该模型试图在给定时间范围内的置信区间内预测投资组合的最可能损失（我们总是需要指定两个VaR的条件：信心和视野）。
，我们将使用最常见的金融模型之一：几何布朗运动（GBM），回顾适用于股价的基本MCS。 因此，尽管蒙特卡洛模拟可以指代各种不同的模拟方法，但我们将从最基本的角度开始。
从哪儿开始
蒙特卡洛模拟试图多次预测未来。 在模拟结束时，成千上万的“随机试验”产生了可以分析的结果分布。 基本步骤如下：
1.指定型号（例如GBM）
对于本文，我们将使用几何布朗运动（GBM），这在技术上是马尔可夫过程。 这意味着股票价格随随便便走动，并且（至少）与有效市场假说（EMH）的弱形式相一致-过去的价格信息已经被纳入，并且下一个价格走势与过去“有条件地独立”价格走势。
GBM的公式如下：
</ s> </ s> </ s> SΔS=μΔt+ σϵΔt其中：S =股票价格ΔS=股票价格变化μ=预期收益σ=收益标准偏差deviation =随机变量
``如果我们重新排列公式以仅解决股价变化，我们会发现GBM表示股价变化是股票价格“ S”乘以下面括号内的两个术语：
</ s> </ s> </ s> ΔS= S×（μΔt+ σϵΔt）
第一项是“漂移”，第二项是“冲击”。 对于每个时间段，我们的模型均假设价格将因预期收益而“漂移”。 但是，漂移将被随机冲击所冲击（相加或相减）。 随机冲击将是标准偏差“ s”乘以随机数“ e”。 这只是缩放标准偏差的一种方法。
这就是GBM的本质，如图1所示。股票价格遵循一系列步骤，其中每个步骤都是一次漂移，再加上或减去一次随机冲击（本身就是股票标准偏差的函数）：
2.生成随机试验
有了模型规范，我们便可以进行随机试验。 为了说明这一点，我们使用Microsoft Excel进行了40次试用。 请记住，这是一个不切实际的小样本； 大多数模拟或“模拟人生”至少要进行数千次试验。
在这种情况下，我们假设股票在第0天以10美元的价格开始。 以下是结果图表，其中每个时间步长（或间隔）为一天，该系列运行十天（总之：四十个试验，每天步长超过十天）：
结果是在10天结束时有40个模拟股票价格。 没有人跌破9美元，有人跌破11美元。
3.处理输出
模拟产生了假设的未来结果的分布。 我们可以用输出做几件事。
例如，如果我们要以95％的置信度估算VaR，那么我们只需要找到排名第三十八的结果（第三最差的结果）。 那是因为2/40等于5％，所以两个最差的结果在最低的5％中。
如果将图示的结果堆叠到bin中（每个bin是$ 1的三分之一，那么三个bin覆盖了从$ 9到$ 10的间隔），我们将得到以下直方图：
朱莉·邦（Julie Bang）摄©Investopedia 2020
请记住，我们的GBM模型假设正常； 价格收益通常以预期收益（均值）“ m”和标准差“ s”分配。 有趣的是，我们的直方图看起来不正常。 实际上，随着更多的试验，它不会趋于正常。 相反，它将趋于对数正态分布：均值左侧急剧下降，均值右侧高度偏斜的“长尾巴”。
对于初学者来说，这通常会导致潜在的混乱动态：
- 价格 收益 呈正态分布，价格 水平 呈对数正态分布。
这样考虑：股票可以上涨5％或下跌10％或下跌10％，但是经过一段时间后，股价不能为负。 此外，上行价格上涨具有复利作用，而下行价格下跌则减少了基数：损失10％，下次损失则更少。
这是一个对数正态分布的图表，叠加在我们说明的假设上（例如，起始价格为10美元）：
朱莉·邦（Julie Bang）摄©Investopedia 2020
底线
蒙特卡洛模拟将选定的模型（指定仪器的行为）应用于大量随机试验，以尝试得出可能的未来结果集。 关于模拟股票价格，最常见的模型是几何布朗运动（GBM）。 GBM假定恒定的漂移伴随着随机冲击。 尽管GBM下的期间收益是正态分布的，但随后的多期（例如，十天）价格水平是对数正态分布的。
