线性关系定义

什么是线性关系？

线性关系（或线性关联）是用于描述变量和常数之间的直线关系的统计术语。线性关系可以以图形形式表示，其中变量和常数通过直线连接，也可以以数学形式表示，其中自变量乘以斜率系数，再乘以确定因变量的常数。

线性关系可以与多项式或非线性（弯曲）关系进行对比。

重要要点

线性关系（或线性关联）是一个统计术语，用于描述变量和常数之间的直线关系。线性关系可以图形形式表示，也可以表示为y = mx + b的数学方程式线性关系在日常生活中相当普遍。

线性方程为：

从数学上讲，线性关系满足以下方程式：

</ s> </ s> </ s> $\begin{matrix} ÿ = 米 X + b \\ 哪里： \\ 米 = 坡 \\ b = 截距 \end{matrix} \ begin {aligned}&y = mx + b \\&\ textbf {其中：} \&m = \ text {slope} \&b = \ text {y-intercept} \ \ end {aligned}$ y = mx + b其中：m = slopeb = y截距

在该等式中，“ x”和“ y”是与参数“ m”和“ b”相关的两个变量。在图形上，y = mx + b在xy平面上绘制为斜率为“ m”且y截距为“ b”的线。当x = 0时，y截距“ b”就是“ y”的值。根据任何两个单独的点（x ₁ ，y ₁ ）和（x ₂ ，y ₂ ）计算斜率“ m”，如下所示：

</ s> </ s> </ s> $米 = \frac{（ ÿ_{2} - ÿ_{1个} ）}{（ X_{2} - X_{1个} ）} m = \ frac {（y_2-y_1）} {（x_2-x_1）}$ m =（x2−x1）（y2 −y1）

线性关系

线性关系告诉您什么？

一个方程式必须满足三组必要条件才能成为线性方程式：一个表达线性关系的方程式不能包含两个以上的变量，方程式中的所有变量都必须是第一幂，等式必须以直线表示。

数学中的线性函数是满足加和性和齐次性的函数。线性函数还遵循叠加原理，该原理指出两个或更多输入的净输出等于各个输入的输出之和。常用的线性关系是相关性，它描述一个变量如何以线性方式更改为另一个变量。

在计量经济学中，线性回归是生成线性关系以解释各种现象的常用方法。但是，并非所有关系都是线性的。一些数据描述了弯曲的关系（例如多项式关系），而另一些数据则无法参数化。

线性函数

数学上类似于线性关系的是线性函数的概念。在一个变量中，线性函数可编写如下：

</ s> </ s> </ s> $\begin{matrix} F （ X ） = 米 X + b \\ 哪里： \\ 米 = 坡 \\ b = 截距 \end{matrix} \ begin {aligned}&f（x）= mx + b \\&\ textbf {其中：} \&m = \ text {slope} \&b = \ text {y-intercept} \ \ end {aligned}$ f（x）= mx + b其中：m = slopeb = y截距

除了使用符号f（x）代替 y 之外，这与给定的线性关系公式相同。进行这种替换是为了突出x映射到f（x）的含义，而使用 y 只是表明x和y是两个量，与A和B相关。

在线性代数的研究中，对线性函数的性质进行了广泛的研究并使其严格。给定标量C和R ^N的两个向量A和B，线性函数的最一般定义是： $C \times F （一种 + 乙） = C \times F （一种） + C \times F （乙） c \时间f（A + B）= c \时间f（A）+ c \时间f（B）$ c×f（A + B）= c×f（A）+ c×f（B）

线性关系的例子

例子1

线性关系在日常生活中很常见。让我们以速度为例。我们用于计算速度的公式如下：速度比率是随时间推移的距离。如果有人穿着白色的2007克莱斯勒城镇和乡村小型货车在加利福尼亚的萨克拉曼多和马里斯维尔之间行驶，在99号高速公路上延伸了41.3英里，而整个旅程要花40分钟，那么她的时速将低于60英里/小时。

尽管此方程中有两个以上的变量，但它仍然是线性方程，因为其中一个变量始终是常数（距离）。

例子2

线性关系还可以在方程式中找到：距离=速率x时间。因为距离是一个正数（在大多数情况下），所以此线性关系将在带有X和Y轴的图形的右上象限上表示。

如果一辆两人制的自行车以每小时30英里的速度行驶20个小时，则骑车人最终将行驶600英里。用Y轴上的距离和X轴上的时间以图形方式表示，在这20个小时内跟踪该距离的直线将从X和Y轴的会合处直行。

例子3

为了将摄氏温度转换为华氏度，或将华氏温度转换为摄氏温度，您可以使用以下等式。这些方程式在图形上表示线性关系：

</ s> </ s> </ s> $° C = \frac{5}{9} （ ° F - 32 ） \ degree C = \ frac {5} {9}（\ degree F-32）$ °C = 95°（°F−32）

</ s> </ s> </ s> $° F = \frac{9}{5} （ ° C + 32 ） \°F = \ frac {9} {5}（\°C + 32）$ °F = 59（°C + 32）

例子4

假设自变量是房屋的大小（以平方英尺计算），当房屋的价格乘以207.65的斜率系数，然后乘以常数10, 500时，该变量确定房屋的市场价格（因变量）。。如果房屋的平方英尺为1, 250，则房屋的市场价值为（1, 250 x 207.65）+ $ 10, 500 = $ 270, 062.50。在图形上和数学上，它显示如下：

在此示例中，随着房屋大小的增加，房屋的市场价值以线性方式增加。

两个对象之间的某些线性关系可以称为“比例常数”。此关系显示为

</ s> </ s> </ s> $\begin{matrix} ÿ = ķ \times X \\ 哪里： \\ ķ = 不变 \\ ÿ ， X = 比例量 \end{matrix} \ begin {aligned}&Y = k \ times X \\&\ textbf {其中：} \&k = \ text {常量} \&Y，X = \ text {比例数量} \ \ end {aligned}$ Y = k×X其中：k =常数Y，X =比例量

在分析行为数据时，变量之间几乎没有完美的线性关系。但是，可以在形成线性关系的粗略形式的数据中找到趋势线。例如，您可以将冰淇淋的销售量和去医院的次数作为图表中的两个变量，然后找出两者之间的线性关系。

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