投资者喜欢集中精力于获得高回报的承诺，但他们也应询问为获得这些回报必须承担多少风险。 尽管我们通常从广义上讲风险，但是风险-回报关系也有正式表述。 例如，夏普比率衡量的是单位风险的超额收益，其中风险被计算为波动率，这是一种传统的流行风险度量。 它的统计属性是众所周知的，并且可以引入多个框架，例如现代投资组合理论和Black-Scholes模型。 ，我们将检查波动率，以了解其用途和局限性。
年度标准差
与隐含波动率不同（隐含波动率属于期权定价理论，是基于市场共识的前瞻性估计），常规波动率向后看。 具体来说，它是历史收益的年度化标准差。
依赖于标准差的传统风险框架通常假定收益符合正钟形分布。 正态分布为我们提供了方便的指导原则：大约三分之二的时间（68.3％），回报率应落在一个标准差（+/-）内； 在95％的时间内，收益率应落在两个标准差之内。 正态分布图的两个性质是“尾巴”和完美对称。 细尾意味着收益的发生率非常低（约占时间的0.3％），与平均值相差三个以上标准偏差。 对称性意味着上行收益的频率和幅度是下行损失的镜像。
查看：波动性对市场收益的影响
因此，传统模型将所有不确定性都视为风险，无论方向如何。 正如许多人所表明的那样，如果收益率不对称，这就是一个问题-投资者担心其损失在平均数的“左侧”，但他们并不担心在平均数的右侧获得的收益。
我们在下面用两只虚构的股票来说明这一怪异现象。 下降的股票（蓝线）完全没有分散，因此波动率为零，但是上升的股票（因为它表现出多次上行震荡，但没有一次下跌），因此波动率（标准差）为10％。
理论性质
例如，当我们计算截至2004年1月31日的标准普尔500指数的波幅时，得出的波动范围是14.7％至21.1％。 为什么这么大范围？ 因为我们必须同时选择一个间隔和一个历史时期。 关于间隔，我们可以收集每月，每周或每天（甚至每天）的一系列回报。 我们的一系列回报可以追溯到任何长度的历史时期，例如三年，五年或十年。 下面，我们使用三个不同的时间间隔，计算了标准普尔500指数在10年期间的标准回报率：
请注意，波动率随时间间隔的增加而增加，但不成比例：每周不是每日金额的近五倍，每月不是每周金额的四倍。 我们已经得出了随机游走理论的一个关键方面：标准偏差标度（增加）与时间的平方根成比例。 因此，如果每日标准偏差为1.1％，并且一年中有250个交易日，则年化标准偏差为每日标准偏差1.1％乘以250的平方根（1.1％x 15.8 = 18.1％） 。 知道了这一点，我们可以通过乘以一年中间隔数的平方根，对S&P 500的间隔标准差进行年度化：
波动率的另一个理论特性可能会让您感到惊讶，也可能不会令您感到惊讶：它侵蚀了回报。 这是由于随机游走想法的关键假设所致：收益以百分比表示。 假设您从$ 100开始，然后获得10％的收益，即得到$ 110。 然后您损失10％，这使您净赚了99美元（110美元x 90％= 99美元）。 然后您又获得10％的收益，净赚$ 108.90（$ 99 x 110％= $ 108.9）。 最终，您损失了10％，净赚98.01美元。 这可能是违反直觉的，但是即使您的平均收益为0％，您的本金也在逐渐侵蚀！
例如，如果您希望每年的平均年收益为10％（即算术平均值），那么您的长期预期收益就是每年少于10％。 实际上，它将减少大约一半的方差（其中方差是标准偏差的平方）。 在下面的纯假设中，我们以100美元开始，然后想象五年的波动性以157美元结束：
五年的年平均回报率为10％（15％+ 0％+ 20％-5％+ 20％= 50％÷5 = 10％），但复合年增长率（CAGR或几何回报）为更准确地衡量了已实现的收益，仅为9.49％。 波动性侵蚀了结果，差异约为1.1％的一半。 这些结果并非来自历史例子，而是在预期的情况下，给定标准偏差为 σ（方差是标准差的平方） σ2和预期的平均增益 μ预期的年化收益约为 μ−（σ2÷2）。
回报良好吗？
理论框架无疑是优雅的，但它取决于行为良好的回报。 即，正态分布和随机游走（即从一个时期到下一个时期的独立性）。 这与现实相比如何？ 我们收集了过去10年中标普500和纳斯达克的每日收益（每日约2500次观察）：
如您所料，纳斯达克的波动率（年度标准偏差为28.8％）大于标普500的波动率（年度标准偏差为18.1％）。 我们可以观察到正态分布与实际收益之间的两个差异。 首先，实际回报率具有较高的峰值-意味着在平均值附近的回报率优势更大。 其次，实际回报率更高。 （我们的发现在某种程度上与更广泛的学术研究相吻合，这些研究也倾向于发现高峰和肥尾巴；其技术术语是峰度）。 假设我们认为负三个标准偏差是一个很大的损失：标准普尔500指数每天遭受负三个标准偏差的损失约为-3.4％。 正常曲线预测这种损失将在10年内发生大约3次，但实际上发生了14次！
这些是单独的区间收益的分布，但是理论上关于收益随时间的变化怎么说？ 作为测试，让我们看一下标准普尔500指数的实际每日分布。 在这种情况下，过去10年的平均年收益率约为10.6％，并且如所讨论的，年化波动率为18.1％。 在这里，我们进行了一个假设性的试验，从100美元开始并持有超过10年，但是我们每年将投资暴露给平均为10.6％，标准差为18.1％的随机结果。 该试验进行了500次，这就是所谓的蒙特卡洛模拟。 500个试验的最终价格结果如下所示：
正态分布仅作为背景显示，以突出非常非正态的价格结果。 从技术上讲，最终价格结果是对数正态的（意味着，如果将x轴转换为x的自然对数，则分布将看起来更正态）。 关键是，有几种价格结果在右边：在500个试验中，有6个结果产生了700美元的期末结果！ 这些珍贵的成果很少能在10年内每年平均赚取20％以上的收益。 在左侧，由于余额减少会减少百分比损失的累积影响，因此，我们最终得到的最终结果都少于$ 50。 总结一个困难的想法，我们可以说区间收益（以百分比表示）是正态分布的，但最终价格结果是对数正态分布的。
查看：多元模型：蒙特卡洛分析
最后，我们的试验的另一个发现与波动的“侵蚀效应”是一致的：如果您的投资每年获得的收益恰好是平均数，那么最终您将持有约273美元（10年复合收益的10.6％）。 但在此实验中，我们的总体预期收益接近250美元。 换句话说，平均（算术）年收益为10.6％，但累积（几何）收益则较小。
重要的是要记住，我们的模拟假设一个随机游动：它假定一个周期到下一个周期的收益是完全独立的。 我们还没有以任何方式证明这一点，这不是一个微不足道的假设。 如果您认为收益跟随趋势，则从技术上讲，它们表明正相关。 如果您认为它们恢复了均值，那么从技术上讲，您是说它们显示负的序列相关性。 两种立场都不符合独立性。
底线
波动率是收益率的年度标准差。 在传统的理论框架中，它不仅衡量风险，而且影响长期（多期）回报的预期。 因此，它要求我们接受区间收益呈正态分布且独立的可疑假设。 如果这些假设是正确的，那么高波动率就是一把双刃剑：它侵蚀了您的预期长期回报（将算术平均数降低到几何平均数），但同时也为您提供了获得一些大收益的机会。
SEE：隐含波动率：低买高卖
