评估期权可能是一件棘手的事情。 考虑以下情形：2015年1月，IBM股票的交易价格为155美元，您预计它会在未来一年内上涨。 您打算购买ATM行使价为155美元的IBM股票的看涨期权，相比于购买价格高的股票，您希望受益于基于小的期权成本（期权溢价）的高百分比收益。
IBM的看涨期权的公允价值应该是多少？
如今，有两种不同的现成方法可供选择，包括Black-Scholes模型和二叉树模型。这些方法可以快速给出答案。 但是，建立这种估值模型的基本因素和驱动概念是什么？ 可以根据这些模型的概念准备类似的东西吗？
在这里，我们涵盖了构建基块，基本概念以及可以用作构建资产（例如期权）评估模型的框架的因素，并与Black-Scholes（BS ）模型。
布莱克·斯科尔斯之前的世界
在布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）之前，广泛采用基于均衡的资本资产定价模型（CAPM）。 根据投资者的偏好，收益和风险相互平衡，即，高风险承担的投资者预计将获得相同比例的较高收益（潜在）的补偿。
BS模型的根源是CAPM。 费舍尔·布莱克（Fisher Black）表示：“我对认股权证生命周期中的每时每刻，适用于每种可能的股票价格和认股权证价值都采用了资本资产定价模型。”不幸的是，CAPM无法满足认股权证（期权）定价的要求。
Black-Scholes仍然是基于套利概念的第一个模型，使范式从基于风险的模型（如CAPM）转变了。 这项新的BS模型开发采用了事实，即完全套期保值头寸将获得无风险利率这一事实，从而取代了CAPM股票收益概念。 这消除了风险和收益的变化，并建立了套利的概念，其中估值是在风险中性概念的假设下进行的-对冲（无风险）头寸应导致无风险收益率。
布莱克·斯科尔斯的发展
让我们从确定问题，量化问题和开发解决方案的框架开始。 我们继续以对IBM的ATM认购期权进行评估为例，执行价格为155美元，并有1年期满。
根据看涨期权的基本定义，除非股票价格达到行使价水平，否则收益仍为零。 达到该水平后，收益线性增加（即，标的资产增加1美元将使看涨期权获得1美元的收益）。
假设买卖双方同意公平估值（包括零价格），则该看涨期权的理论公平价格为：
- 看涨期权价格= $ 0，如果底层价格<行使价（红色图表）看涨期权价格=（底层价格-行使价），如果底层价格> =行使价（蓝色图）
这代表了期权的内在价值，并且从看涨期权购买者的角度来看非常完美。 在红色区域，买卖双方的估值均公平（卖方零价格，买方零收益）。 但是，估值挑战始于蓝色区域，因为买方具有正收益的优势，而卖方则遭受亏损（前提是基础价格高于行使价）。 在这里，买方比零价格的卖方更具优势。 定价必须不为零，以补偿卖方承担的风险。
在前一种情况下（红色图表），理论上，卖方收取的价格为零，而买方的收益潜力为零（对两者均公平）。 在后一种情况下（蓝色图），标的物与行使价之间的差额应由卖方支付给买方。 卖方的风险涵盖整个一年的时间。 例如，标的股票价格可能会非常高（例如在四个月内升至200美元），而卖方则需要向买方支付差额45美元。
因此，可以归结为：
- 底层证券的价格会与行使价交叉吗？如果是，底层证券的价格能走多高（这将决定买方的收益）？
这表明卖方承担了巨大的风险，从而引发了一个问题：如果某人因承担的风险而没有得到任何回报，为什么有人会出售这样的看涨期权呢？
我们的目标是达到卖方应向买方收取的单一价格，这可以补偿他在一年时间内承担的总体风险-在零支付区域（红色）和线性支付区域（蓝色）中。 价格应该公平，买卖双方都可以接受。 如果没有，那么在支付或接受不公平价格方面处于不利地位的人将不会参与市场，从而破坏了交易业务的目的。 Black-Scholes模型旨在通过考虑股票的恒定价格变化，货币时间价值，期权的行使价以及期权到期的时间来建立公平价格。 与BS模型类似，让我们看看如何使用自己的方法对示例进行评估。
如何评估蓝色区域的内在价值？
有两种方法可以预测给定时间范围内未来的预期价格走势：
- 人们可以分析最近相同时期内类似的价格走势。 IBM的历史收盘价表明，过去一年（2014年1月2日至2014年12月31日）的价格从185.53美元跌至160.44美元，跌幅为13.5％。 我们能否得出IBM价格下跌-13.5％的结论？进一步详细的检查显示，IBM股价曾触及年度高点199.21美元（2014年4月10日）和年度低点150.5美元（2014年12月16日）。 以2014年1月2日首日收盘价和185.53美元的收盘价为基础，百分比变化从+ 7.37％到-18.88％。 现在，与之前计算出的13.5％的下降相比，变化范围看起来要宽得多。
可以对历史数据进行类似的分析和观察。 为了继续开发定价模型，让我们假设采用这种简单的方法来评估未来的价格变化。
假设IBM每年以10％的速度增长（基于过去20年的历史数据）。 基本统计数据表明，假设历史模式反复发生，IBM股票价格徘徊在+ 10％左右的可能性将大大高于IBM价格上涨20％或下跌30％的可能性。 收集具有概率值的相似历史数据点，可以将一年内IBM股票价格的总体预期收益计算为概率和相关收益的加权平均值。 例如，假设IBM的历史价格数据指示以下移动：
- （-10％）在25％的时间中，+ 10％在35％的时间中，+ 15％在20％的时间中，+ 20％ 10％的时间，+ 5％的5％的时间和（-15％）的5％的时间。
因此，加权平均值（或期望值）为：
（-10％* 25％+ 10％* 35％+ 15％* 20％+ 20％* 10％+ 25％* 5％– 15％* 5％）/ 100％= 6.5％
也就是说，平均而言，IBM股票的价格有望在一年内以每美元的价格返回+ 6.5％。 如果有人以一年的期限和155美元的买入价购买IBM股票，则可以预期155 * 6.5％的净回报= 10.075美元。
但是，这是为了退货。 我们需要为看涨期权寻找相似的预期收益。
根据低于行使价的看涨期权的零收益（现有的155美元-ATM看涨期权），所有负向移动将产生零收益，而高于行使价的所有正向移动将产生同等收益。 因此，看涨期权的预期收益为：
（ -0％ * 25％+ 10％* 35％+ 15％* 20％+ 20％* 10％+ 25％* 5％ -0 ％* 5％）/ 100％= 9.75％
也就是说，每投资100美元购买该期权，人们就可以期望获得9.75美元（基于上述假设）。
但是，这仍然仅限于期权内在金额的公允价值，并且不能正确地把握期权卖方在过渡期间可能发生的高波动的风险（在上述年内高点和低点的情况下）价格）。 除了内在价值外，买卖双方还可以商定什么价格，以便使卖方在一年的时间框架内承担的风险得到合理的补偿？
这些波动可能相差很大，卖方可能对自己要补偿多少有自己的解释。 Black-Scholes模型采用欧洲期权，即到期前不进行任何操作。 因此，它不受中间价格波动的影响，并将其估值基于端到端交易日。
在实时交易中，这种波动性对确定期权价格起着重要作用。 我们通常看到的蓝色收益函数实际上是到期日的收益。 实际上，期权价格（粉红色曲线图）总是高于收益（蓝色曲线图），表明卖方为补偿其冒险能力而采取的价格。 这就是为什么期权价格也称为期权“溢价”的原因，它实质上表示风险溢价。
这可以包含在我们的估值模型中，具体取决于股价预期的波动性以及产生的预期值。
Black-Scholes模型可以有效地做到这一点（当然，在其自身的假设范围内），如下所示：
</ s> </ s> </ s> C = S×N（d1）−X×e-rTN（d2）
BS模型假定股票价格走势为对数正态分布，这证明使用N（d1）和N（d2）是合理的。
- 在第一部分中，S表示股票的当前价格。 N（d1）表示股票当前价格变动的概率。
如果该选择权通过货币方式允许买方行使，则他将获得一股基础IBM股票。 如果交易者今天行使该期权，则S * N（d1）代表该期权的当前期望值。
在第二部分中，X表示执行价格。
- N（d2）表示股票价格高于行使价的概率，因此X * N（d2）表示股票价格 高于 行使价的期望值。
由于Black-Scholes模型采用的欧式期权只能在最后进行行使，因此上述X * N（d2）表示的期望值应折合为货币的时间价值。 因此，最后一部分乘以该时间段内提高到利率的指数项。
两项的净差额表示截至今天的期权价格（其中第二项已打折）
在我们的框架中，可以通过多种方式更准确地包括此类价格变动：
- 通过将范围扩大到更精细的间隔来进一步完善预期收益计算，以包括当日/年内价格变动，包括当日市场数据，因为它反映了当日的活动（类似于隐含波动率）。到期日的预期收益可以折现回到现值以进行实际估值，并从现值进一步减少
因此，我们看到选择用于定量分析的假设，方法和定制没有限制。 根据要交易的资产或要考虑的投资，可以使用自行开发的模型。 重要的是要注意，不同资产类别的价格变动的波动性相差很大-股票具有波动性偏斜，外汇具有波动性皱眉-用户应该在模型中纳入适用的波动性模式。 假设和缺点是任何模型的组成部分，并且模型在现实世界中的交易场景中的知识性应用可以产生更好的结果。
底线
随着复杂资产进入市场，甚至普通香草资产进入复杂的交易形式，定量建模和分析已成为评估的强制性要求。 不幸的是，没有一组缺点和假设的数学模型。 最好的方法是将假设最小化，并注意隐含的缺点，这可以帮助绘制模型的用法和适用性界限。
