波动率是最常见的风险衡量标准，但有几种形式。 在上一篇文章中，我们展示了如何计算简单的历史波动率。 ，我们将改善简单的波动性，并讨论指数加权移动平均线（EWMA）。
历史与隐含波动率
首先，让我们将此指标放一些角度。 有两种广泛的方法：历史波动率和隐含（或隐含）波动率。 历史的方法假定过去是序幕。 我们对历史进行测量，希望它具有可预测性。 另一方面，隐含波动率忽略了历史； 它解决了市场价格隐含的波动性。 它希望市场最了解，并且市场价格即使隐含地也包含对波动率的一致估计。
如果仅关注三种历史方法（在左上方），则它们有两个相同的步骤：
- 计算一系列周期性收益 应用加权方案
首先，我们计算定期收益。 通常，这是一系列的每日收益，其中每个收益都以持续复合的形式表示。 对于每一天，我们以股票价格比率的自然对数（即今天的价格除以昨天的价格，依此类推）。
</ s> </ s> </ s> ui = lnsi-1si，其中：ui =当日回报isi =当日股价isi-1 =当日i前一天的股价
这会产生一系列从u i到u im的每日收益，具体取决于我们要测量的天数（m =天）。
这使我们进入第二步：这是三种方法的不同之处。 在上一篇文章中，我们显示了在几个可以接受的简化下，简单的方差是收益平方的平均值：
</ s> </ s> </ s> 方差=σn2=m1Σi= 1m un−12其中：m =测量天数n = dayiu =与平均收益之差
请注意，这将每个定期收益相加，然后将该总数除以天数或观测值（m）。 因此，它实际上只是周期收益平方的平均值。 换句话说，每个平方收益都被赋予相等的权重。 因此，如果alpha（a）是权重因子（具体来说，a = 1 / m），则简单的方差如下所示：
EWMA改进了简单方差
这种方法的缺点是，所有收益都具有相同的权重。 昨天（最近）的回报对差异的影响没有上个月的回报大。 通过使用指数加权移动平均线（EWMA）可以解决此问题，在该指数中，最近的收益对方差的加权更大。
指数加权移动平均值（EWMA）引入了lambda，称为平滑参数。 Lambda必须小于一。 在这种情况下，不是乘以相等的权重，而是通过乘数对每个平方收益进行加权，如下所示：
例如，金融风险管理公司RiskMetrics TM倾向于使用0.94（即94％）的λ。 在这种情况下，第一个（最近的）平方周期回报率的加权为（1-0.94）（。94） 0 = 6％。 下一个平方的收益只是先前权重的λ倍； 在这种情况下，6％乘以94％= 5.64％。 并且第三天的权重等于（1-0.94）（0.94） 2 = 5.30％。
这就是EWMA中“指数”的含义：每个权重是前一天权重的常数乘数（即lambda，必须小于一个）。 这样可以确保对最近数据加权或偏差的方差。 以下显示了Google的简单波动率与EWMA之间的区别。
如O列所示，简单的波动有效地权衡了每个定期收益的0.196％（我们有两年的每日股价数据。即509个每日收益和1/509 = 0.196％）。 但是请注意，P列分配的权重为6％，然后是5.64％，然后是5.3％，依此类推。 这是简单方差和EWMA之间的唯一区别。
请记住：在对整个序列求和之后（在Q列中），我们得到了方差，即标准差的平方。 如果我们要波动，我们需要记住要采用该方差的平方根。
在Google的案例中，每日波动率和EWMA之间有什么区别？ 这很重要：简单的方差使我们的每日波动率为2.4％，而EWMA的每日波动性仅为1.4％（有关详细信息，请参见电子表格）。 显然，谷歌的波动性最近有所下降。 因此，简单的方差可能人为地高。
今天的差异是前一天的差异的函数
您会注意到我们需要计算一系列呈指数递减的权重。 我们在这里不做数学运算，但是EWMA的最佳功能之一是整个系列可以方便地简化为递归公式：
</ s> </ s> </ s> σn2（ewma）=λσn2+（1-λ）un−12其中：λ=加权减少程度σ2=时间段的值nu2 =时间段n的EWMA的值
递归表示今天的差异参考（即是前一天差异的函数）。 您也可以在电子表格中找到此公式，它产生的结果与长期计算完全相同！ 它说：今天的方差（根据EWMA）等于昨天的方差（由lambda加权）加上昨天的平方收益（由1减去lambda加权）。 注意我们如何将两个项加在一起：昨天的加权方差和昨天的加权平方回报。
即使这样，lambda还是我们的平滑参数。 较高的lambda（例如，如RiskMetric的94％）表示该系列中的衰减较慢–相对而言，我们将在该系列中拥有更多的数据点，而它们的下降速度将更慢。 另一方面，如果减小lambda，则表示衰减更高：权重下降得更快，并且作为快速衰减的直接结果，使用的数据点更少。 （在电子表格中，lambda是输入，因此您可以试验其灵敏度）。
摘要
波动率是股票的瞬时标准差和最常见的风险度量。 它也是方差的平方根。 我们可以历史地或隐性地（隐含波动率）衡量方差。 从历史上衡量，最简单的方法是简单的方差。 但是，具有简单方差的缺点是所有收益都具有相同的权重。 因此，我们面临一个经典的权衡：我们总是想要更多的数据，但是拥有的数据越多，我们的计算就越会被遥远（相关性较小）的数据所稀释。 指数加权移动平均值（EWMA）通过将权重分配给定期收益来改善简单方差。 这样，我们不仅可以使用较大的样本量，而且可以将较大的权重分配给最近的回报。
