连续复利

复利是根据初始本金以及存款或贷款先前各期的累计利息计算的利息。复利的影响取决于频率。

假设年利率为12％。如果我们从$ 100开始并且只复利一次，那么到年底，本金将增长到$ 112（$ 100 x 1.12 = $ 112）。如果我们改为每个月以1％的价格复利，那么到年底，我们最终将获得超过$ 112的收益。也就是说，$ 100 x 1.01 ^ 12为$ 112.68。（较高，因为我们复利的频率更高。）

持续复利的回报最常见。连续复利是复利可以达到的数学极限。这是复利的极端情况，因为大多数利息是按月，按季度或按半年复利。

半年收益率

首先，让我们看一下一个可能令人困惑的约定。在债券市场中，我们指的是等价债券（或等价债券）。这意味着，如果债券每半年收益率为6％，则其债券当量收益率为12％。

朱莉·邦吉的照片©Investopedia 2019

半年收益率只是增加了一倍。这可能会造成混淆，因为等效于12％的收益率债券的有效收益率为12.36％（即1.06 ^ 2 = 1.1236）。将半年收益率加倍只是债券的命名惯例。因此，如果我们每半年读到大约8％的债券，我们假设这是指4％的半年收益率。

季度，每月和每日收益率

现在，让我们讨论更高的频率。我们仍假设市场年利率为12％。根据债券命名惯例，这意味着6％的半年度复合利率。现在，我们可以将季度复合利率表示为市场利率的函数。

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给定年度市场利率（ r），季度复合利率（ r _q ）由下式得出：

</ s> </ s> </ s> $\begin{matrix} {[R}_{q} = 4 \end{matrix} \ begin {aligned}&r_q = 4 \ left \\ \ end {aligned}$ rq = 4

因此，对于我们的示例，在年市场利率为12％的情况下，季度复合利率为11.825％：

</ s> </ s> </ s> $\begin{matrix} {[R}_{q} = 4 ≅ 1个 1个。 825 ％ \end{matrix} \ begin {aligned}&r_q = 4 \ left \ cong 11.825 \％\\ \ end {aligned}$ rq =4≅11.825％

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类似的逻辑适用于每月复利。此处，每月复合利率（ r _m ）是年度市场利率（ r）的函数：

每日复合利率（ d）作为市场利率（ r）的函数由下式给出：

</ s> </ s> </ s> $\begin{matrix} {[R}_{d} & = 360 \\ = 360 \\ ≅ 1个 1个。 66 ％ \end{matrix} \ begin {aligned} r_d&= 360 \ left \\&= 360 \ left \\&\ cong 11.66 \％\\ \ end {aligned}$ rd = 360 =360≅11.66％

连续复合如何工作

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如果我们将复合频率增加到其极限，则我们正在不断地复合。尽管这可能不切实际，但连续复利利率提供了极为方便的属性。事实证明，连续复利计算公式为：

</ s> </ s> </ s> $\begin{matrix} {[R}_{C Ø ñ Ť 一世 ñ ü Ø ü s} = \ln （ 1个 + [R ） \end{matrix} \ begin {aligned}&r_ {continuous} = \ ln（1 + r）\\ \ end {aligned}$ 连续= ln（1 + r）

Ln（）是自然对数，因此在我们的示例中，连续复利比率为：

</ s> </ s> </ s> $\begin{matrix} {[R}_{C Ø ñ Ť 一世 ñ ü Ø ü s} = \ln （ 1个 + 0 。 1个 2 ） = \ln （ 1个。 1个 2 ） ≅ 1个 1个。 33 ％ \end{matrix} \ begin {aligned}&r_ {continuous} = \ ln（1 + 0.12）= \ ln（1.12）\ cong 11.33 \％\\ \ end {aligned}$ 连续= ln（1 + 0.12）= ln（1.12）≅11.33％

我们以该比率的自然对数得出相同的结果：最终值除以初始值。

</ s> </ s> </ s> $\begin{matrix} {[R}_{C Ø ñ Ť 一世 ñ ü Ø ü s} = \ln （ \frac{值_{结束}}{值_{开始}} ） = \ln （ \frac{1个 1个 2}{1个 00} ） ≅ 1个 1个。 33 ％ \end{matrix} \ begin {aligned}&r_ {continuous} = \ ln \ left（\ frac { text {Value} _ \ text {End}} { text {Value} _ \ text {Start}} right）= \ ln \左（\ frac {112} {100} right）\ cong 11.33 \％\\ \ end {aligned}$ 连续= ln（ValueStartValueValue）= ln（100112）≅11.33％

后者在计算股票的连续复利时很常见。例如，如果股票从一天的10美元跃升到第二天的11美元，则连续复利的每日收益为：

</ s> </ s> </ s> $\begin{matrix} {[R}_{C Ø ñ Ť 一世 ñ ü Ø ü s} = \ln （ \frac{值_{结束}}{值_{开始}} ） = \ln （ \frac{$ 1个 1个}{$ 1个 0} ） ≅ 9 。 53 ％ \end{matrix} \ begin {aligned}&r_ {continuous} = \ ln \ left（\ frac { text {Value} _ \ text {End}} { text {Value} _ \ text {Start}} right）= \ ln \左（\ frac { $ 11} { $ 10} right）\ cong 9.53 \％\\ \ end {aligned}$ rcontinuous = ln（ValueStart \ ValueEnd）= ln（$ 10 $ 11）≅9.53％

我们将用r _c表示连续复利率（或收益率）有什么优点呢？首先，很容易将其扩展。给定本金（P），我们在（n）年内的最终财富为：

</ s> </ s> </ s> $\begin{matrix} w = P Ë^{{[R}_{C} ñ} \end{matrix} \ begin {aligned}&w = Pe ^ {r_c n} \ \ end {aligned}$ w = Percn

请注意， e 是指数函数。例如，如果我们从$ 100开始，并在三年内以8％的比例连续复合，则最终财富由下式给出：

</ s> </ s> </ s> $\begin{matrix} w = $ 1个 00 Ë^{（ 0 。 08 ）（ 3 ）} = $ 1个 27 。 1个 2 \end{matrix} \ begin {aligned}&w = \ $ 100e ^ {（0.08）（3）} = \ $ 127.12 \\ \ end {aligned}$ w = $ 100e（0.08）（3）= $ 127.12

折现至现值（PV）仅是反向复合，因此以（ r _c ）的比率连续复合的未来值（F）的现值由下式给出：

</ s> </ s> </ s> $\begin{matrix} 在（n）年内收到的F的PV = \frac{F}{Ë^{{[R}_{C} ñ}} = F Ë^{- {[R}_{C} ñ} \end{matrix} \ begin {aligned}&\ text {在（n）年中收到的F的PV} = \ frac {F} {e ^ {r_c n}} = Fe ^ {-r_c n} \ \ end {aligned}$ 在（n）年中收到的F的PV = ercnF = Fe-rcn

例如，如果您要在6％的连续利率下三年内收到$ 100，则其现值由下式给出：

</ s> </ s> </ s> $\begin{matrix} 光伏 = F Ë^{- {[R}_{C} ñ} = （ $ 1个 00 ） Ë^{- （ 0 。 06 ）（ 3 ）} = $ 1个 00 Ë^{- 0 。 1个 8} ≅ $ 83 。 53 \end{matrix} \ begin {aligned}&\ text {PV} = Fe ^ {-r_c n} =（\ $ 100）e ^ {-（0.06）（3）} = \ $ 100 e ^ {-0.18} cong \ $ 83.53 \\ \ end {aligned}$ PV = Fe-rcn =（$ 100）e-（0.06）（3）= $100e-0.18≅$ 83.53

跨多个阶段扩展

连续复利的便利特性是它可以在多个期间内扩展。如果第一个期间的收益为4％，第二个期间的收益为3％，则两期间收益为7％。假设我们从$ 100开始，到第一年末增加到$ 120，然后在第二年末增加到$ 150。连续复利分别为18.23％和22.31％。

</ s> </ s> </ s> $\begin{matrix} \ln （ \frac{1个 20}{1个 00} ） ≅ 1个 8 。 23 ％ \end{matrix} \ begin {aligned}&\ ln \ left（\ frac {120} {100} right）\ cong 18.23 \％\\ \ end {aligned}$ ln（100120）≅18.23％

</ s> </ s> </ s> $\begin{matrix} \ln （ \frac{1个 50}{1个 20} ） ≅ 22 。 3 1个％ \end{matrix} \ begin {aligned}&\ ln \ left（\ frac {150} {120} right）\ cong 22.31 \％\\ \ end {aligned}$ ln（120150）≅22.31％

如果简单地将它们加在一起，我们将得到40.55％。这是两个期间的收益：

</ s> </ s> </ s> $\begin{matrix} \ln （ \frac{1个 50}{1个 00} ） ≅ 40 。 55 ％ \end{matrix} \ begin {aligned}&\ ln \ left（\ frac {150} {100} right）\ cong 40.55 \％\\ \ end {aligned}$ ln（100150）≅40.55％

从技术上讲，连续收益是时间一致的。时间一致性是风险价值（VAR）的技术要求。这意味着，如果单周期返回值是正态分布的随机变量，我们希望多周期随机变量也呈正态分布。此外，多周期连续复合收益呈正态分布（不同于简单的百分比收益）。

底线

我们可以将年利率重新安排为半年，季度，月度或每日利率（或收益率）。最常见的复利是连续复利，这要求我们使用自然对数和指数函数，由于其理想的特性，该函数通常在金融中使用-它可以在多个时期内轻松扩展并且具有时间一致性。

目录:

半年收益率

季度，每月和每日收益率

连续复合如何工作

跨多个阶段扩展

底线

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