目录
- 正态（钟形曲线）分布
- 风险与回报
- 现代投资组合理论
- 积木
- MPT的快速示例
- MPT和发行面临的挑战
- 底线
正态分布是概率分布，它以对称方式绘制其所有值，并且大多数结果都位于概率均值附近。
正态（钟形曲线）分布
数据集（例如100个人的身高，班上45个学生获得的分数等）往往在同一数据点或同一范围内具有许多值。 数据点的这种分布称为正态分布或钟形曲线分布。
例如，在100个人的组中，有10个人的身高可能低于5英尺，有65个人的身高可能在5至5.5英尺之间，有25个人的身高可能高于5.5英尺。 此范围边界分布可以绘制如下：
类似地，对于任何给定的数据集，以图表形式绘制的数据点可能类似于不同类型的分布。 最常见的三种是左对齐，右对齐和混杂分布：
请注意这些图中的红色趋势线。 这大致表明了数据分布趋势。 第一个“左对齐分布”表示大多数数据点都位于较低范围内。 在第二个“右对齐分布”图中，大多数数据点落在该范围的高端，而最后一个“混杂分布”表示混合数据集，没有明显的趋势。
在很多情况下，数据点的分布趋于围绕中心值分布，并且该图显示了理想的正态分布-两侧均等地平衡，数据点的数量最多集中在中心。
这是一个完美的，正态分布的数据集：
这里的中心值为50（具有最多的数据点数），并且分布朝着0和100（具有最少的数据点数）的极端值逐渐变细。 正态分布围绕中心值对称，每侧一半。
许多真实的例子都符合钟形曲线分布：
- 多次掷出一个公平的硬币（例如100次或更多），您将获得平衡的正面和反面正态分布;将一对公平的骰子旋转多次（例如100次或更多），结果将是一个平衡，正常的分布以数字7为中心，并朝着2和12的极端值逐渐变细。一组中相当大的个体的身高和一类人获得的标记都遵循正常的分布模式。记录值 汇率，价格指数和股票价格的假设均呈正态分布。
风险与回报
任何投资都有两个方面：风险和回报。 投资者寻求尽可能低的风险以获得最高的回报。 正态分布通过收益平均值和风险标准偏差来量化这两个方面。 （有关更多信息，请参见“均方差分析”。）
均值或期望值
股价的特定平均变化每天可能为1.5％，这意味着平均而言，它会上涨1.5％。 可以通过在足够大的数据集（包含该股票的历史每日价格变化）上计算平均值来得出表示回报的平均值或期望值。 平均值越高，效果越好。
标准偏差
标准偏差表示值平均偏离平均值的数量。 标准偏差越高，投资的风险就越大，因为它导致更多的不确定性。
这是相同的图形表示：
因此，通过均值和标准差的正态分布图形表示，可以在明确定义的范围内表示收益和风险。
它有助于知道（并确定地保证）如果某些数据集遵循正态分布模式，则其均值将使我们能够知道预期的收益，而其标准差将使我们知道大约68％的值将在1个标准偏差内，95％在2个标准偏差内，并且99％的值将在3个标准偏差内。 平均值为1.5且标准偏差为1的数据集比平均值为1.5且标准偏差为0.1的另一个数据集的风险要大得多。
了解每种选定资产（即股票，债券和基金）的这些价值将使投资者意识到预期的回报和风险。
应用此概念很容易，并且可以代表一只股票，债券或基金的风险和回报。 但这可以扩展到具有多个资产的投资组合吗？
个人通过购买单一股票或债券或投资共同基金开始交易。 他们逐渐倾向于增加持股量并购买多只股票，基金或其他资产，从而创建投资组合。 在这种不断增长的情况下，个人在没有策略或没有深思熟虑的情况下建立自己的投资组合。 专业的基金经理，交易员和做市商遵循一种系统的方法，使用一种称为“现代投资组合理论”（MPT）的数学方法建立其投资组合，该方法基于“正态分布”的概念。
现代投资组合理论
现代投资组合理论（MPT）提供了一种系统的数学方法，旨在通过选择各种资产的比例，在给定数量的投资组合风险下最大化投资组合的预期收益。 或者，它还可以最大程度地降低给定预期收益水平的风险。
为了实现此目标，不应仅根据自身的优点来选择要包含在投资组合中的资产，而应根据每种资产相对于投资组合中其他资产的表现来选择。
简而言之，MPT定义了如何最大程度地实现投资组合多样化以实现最佳结果：风险可接受的最大回报率或期望收益的最小风险。
积木
MPT在引入时是一个革命性的概念，以至于发明人获得了诺贝尔奖。 该理论成功地提供了数学公式来指导投资多元化。
分散化是一种风险管理技术，它通过投资于不相关的股票，行业或资产类别来消除“一篮子鸡蛋”的风险。 理想情况下，投资组合中一项资产的正面表现将抵消其他资产的负面表现。
为了获得具有 n 种不同资产的投资组合的平均收益，需要计算组成资产收益的比例加权组合。
由于统计计算和正态分布的性质，总投资组合收益（R p ）计算如下：
</ s> </ s> </ s> Rp = ∑wiRi
总和（∑），其中w i是资产i在投资组合中的比例权重，R i是资产i的回报（均值）。
对于所有资产对（该对中的彼此），投资组合风险（或标准差）是所包含资产的相关性的函数。
由于统计计算和正态分布的性质，总投资组合风险（Std-dev） p的计算公式为：
</ s> </ s> </ s> （标准偏差）p = sqrt
在这里，cor-cof是资产i和j的收益之间的相关系数，而sqrt是平方根。
这照顾到每种资产相对于另一种资产的相对性能。
尽管从数学上看这很复杂，但此处应用的简单概念不仅包括单个资产的标准偏差，还包括彼此相关的标准偏差。
华盛顿大学的一个很好的例子。
MPT的快速示例
作为一项思想实验，让我们想象一下，我们是一位已经获得资本的投资组合经理，负责将多少资本分配给两个可用资产（A和B），以使预期收益最大化并降低风险。
我们还有以下可用值：
R a = 0.175
R b = 0.055
（标准偏差） a = 0.258
（标准偏差） b = 0.115
（标准开发） ab = -0.004875
（Cor-cof） ab = -0.164
从对每个资产A和B进行相等的50-50分配开始，R p计算为0.115，而（Std-dev） p为0.1323。 一个简单的比较告诉我们，对于这两种资产组合，回报和风险介于每种资产的各个价值之间。
但是，我们的目标是提高投资组合的收益，使其超出单个资产的平均值，并降低风险，从而使其低于单个资产的收益。
现在，让我们在资产A中获得1.5的资本分配头寸，在资产B中获得-0.5的资本分配头寸。（负资本分配是指将收到的股票和资本用于以正资本分配来购买其他资产的盈余。换句话说，我们卖空股票B的资本为0.5倍，并用这笔钱购买股票A的资本为资本的1.5倍。）
使用这些值，我们得到R p为0.1604，（Std-dev） p为0.4005。
同样，我们可以继续对资产A和B使用不同的分配权重，得出不同的Rp和（Std-dev）p集。 根据期望的收益（Rp），可以选择最可接受的风险水平（std-dev）p。 或者，对于所需的风险水平，可以选择最佳的可用投资组合收益。 无论哪种方式，通过这种投资组合理论的数学模型，都可以满足创建具有所需风险和收益组合的有效投资组合的目标。
自动化工具的使用使人们可以轻松，轻松地轻松检测出最佳的分配比例，而无需进行冗长的手动计算。
有效边界，资本资产定价模型（CAPM）和使用MPT的资产定价也从相同的正态分布模型演变而来，是MPT的扩展。
MPT面临的挑战（以及基础正态分布）
不幸的是，没有数学模型是完美的，每个模型都有不足之处和局限性。
股票价格收益遵循正态分布本身的基本假设一次又一次受到质疑。 有足够的经验证明，其中值未遵循假定的正态分布。 基于此类假设的复杂模型可能会导致结果产生较大偏差。
进一步进入MPT，关于相关系数和协方差保持固定的计算和假设（基于历史数据）可能不一定适用于未来的预期值。 例如，从2001年到2004年，债券市场和股票市场在英国市场表现出了完美的关联，这两种资产的收益同时下降。 实际上，在2001年之前的漫长历史时期中观察到了相反的情况。
在此数学模型中未考虑投资者行为。 即使假定了部分资本分配和资产做空的可能性，税收和交易成本也被忽略了。
实际上，这些假设都不成立，这意味着已实现的财务回报可能与预期利润有很大差异。
底线
数学模型提供了一种很好的机制来量化具有单个可跟踪数字的某些变量。 但是由于假设的限制，模型可能会失败。
构成投资组合理论基础的正态分布不一定适用于股票和其他金融资产价格模式。 投资组合理论本身具有许多假设，在做出重要的财务决策之前，应仔细检查这些假设。
